2018년 2월 5일 월요일

Minimizing the Negative Log-Likelihood, in Korean (1)

* This is the Korean translation of the original post by will wolf under his permission. You can find the English version at his blog: here. 저자의 허락을 득하고 번역하여 옮깁니다. 

우리가 자주 쓰는 loss function들이 어떻게 나오게 되었는지, 예들 들자면 cross-entropy error와 Euclidean error는 어디서 유래한 것인지를 알려주는 좋은 글이 있어 공부할 겸 번역을 해보고자 합니다. 최대한 원 저자의 글에 가깝게 번역하려 했으며 번역을 할 때 필연적으로 생기는 어색한 표현을 피하기 위해 제가 먼저 내용을 다 소화한 이후 의역을 하였습니다. 이 외에 제가 좀 더 자세히 덧붙여 설명을 하고 싶은 부분들은 추가하되 (* 편집자 주, 빨간색)으로 명시해두겠습니다. (* 편집자 주) 2017년 6월에 시작한 글을 이제야 끝내다니... ㅎㅎ밀린 숙제하는 느낌이네요;; 졸업하니 정말 좋다!!!ㅋㅋㅋ

Minimizing the Negative Log-Likelihood, in Korean (:p)


저(글쓴이)는 Kaggle에서부터 기계학습에 대한 공부를 시작했습니다.
"Kaggle에는 데이터도 있고 모델 (즉, estimator) 그리고 loss function to optimize가 있어서 공부하기가 좋았고 여기(Kaggle)에서 많은 것을 배울 수 있었습니다."
그 중 몇 가지를 꼽아보자면, "regression model은 continuous-valued real numbers를 예측하는데 쓰이고, classification model들은 '빨강' '초록' '파랑' 등을 예측하는데 쓰인다는 것", "보통 regression에서는 mean absolute error를 쓰며 classification에서는 cross-entropy loss를 사용한다는 것", "loss 함수들을 줄이기 위해 stochastic gradient descent를 사용한다는 것" 등을 자연스래 배웠고, 마지막으로 이런 model들을 fit하고 싶다면 그저 sklearn 라이브러리를 사용하면 된다는 것도 알게 되었습니다. 

(최소한 기술적인 측면에서는) 이 정도만 잘 알아도 데이터 사이언티스트로써 혹은 취업을 위해서도 충분했습니다. 산업 현장에서는 이런 off-the-shelf algorithm만으로도 회사의 이익을 매우 쉽게 끌어올릴 수 있지요.
"그래 이 정도면 충분해, 자동차 경주에서 이기고 있는 선수가 굳이 자동차가 어떻게 만들어지는지까지 알 필요는 없잖아?"
"scikit-learn fit and predict," 하는 것이 익숙해졌을 무렵 저는 통계를 슬슬 공부하기 시작했습니다. 두 가지 분야가 서로 겹치는 것이 많다는 것을 알고는 있었지만, 여전히 뭔가를 분석할 때는 두 분야를 서로 다른 평행한 sub-fields로 적용하곤 했습니다. 그러니까 classification model을 만들 때는 scikit-learn을 사용하고 signup counts를 추측(infer)할 때는 Poisson distribution and MCMC를 사용하는 식으로 말이죠. 

하지만 교과서 공부, 논문 읽기, 소스 코드 읽기 및 쓰기, 블로그 작성 등 기계 학습에 대해 깊이 파고 들면서 내가 한 일들을 묘사하는데 사용되는 몇몇 용어들이 생각보다 이해하기 어렵다는 것을 알게 되었습니다. 예를 들자면 categorical cross-entropy loss가 무엇인지, 어떤 일을 하며 어떤 식으로 정의되는지는 이해했지만 도대체 "왜 이런 녀석들을 negative log-likelihood라 부르는 것인가?"와 같은 의문들이 생기기 시작했습니다.

시간이 지나 이제는 위 질문에 대해 적어도 두 가지 정도는 알게 되었습니다:

  1. 우리가 "기계 학습"이라 부르는 기술들(classification and regression models)은 거의 대부분 통계를 기반으로 하고 있다. 때문에 용어들이 두 분야에서 혼용되고 있다.
  2. 대부분의 용어가 새로 만들어진 것이 아니다. 

이 글에서는 제가 깨달은 사실을 바탕으로 우리가 잘 알고 있고, 자주 사용하며, 어떻게 사용하는지 알고 있는 세가지 모델들이 수학적으로 어떤 역할을 하는 것인지 설명하고자 합니다. 기본적으로 독자들이 기계학습과 통계학 분야의 개념들에 대해 익숙하다는 가정 하에 글을 쓸 것이며 두 분야 사이의 연관성에 대해 더욱 깊은 이해를 위해 서서히 파고들 생각입니다. 수학이 들어가긴 하지만 딱 필요한만큼만 사용할 것이고 유도의 대부분은 결과없이 건너 뛸 수도 있습니다.

어떤 predictive model을 제품화할 때는, import sklearn으로 다른 사람이 만들어 둔 모델을 사용하는 것이 최고의 방법이자 보통 우리가 알고 있는 방식입니다. 그렇기에 이 글은 여기서 시작해서 결국에는 다시 이 지점으로 돌아올 것입니다. 다만 이전과 다른 점은 그 밑바닥을 잘 알고 사용할 수 있겠습니다. (글쓴이는 이 과정을 마치 수영장에서 다이빙 하고, 밑바닥을 찍고, 다시 표면으로 올라오는 모습과 비슷하게 생각했는지 같은 은유를 수차례 사용합니다.) Lemma들은 굵은 글씨체로 작성되어 있습니다.

먼저 우리가 앞으로 다룰 세 개의 주요 모델들을 만나보시겠습니다. 편의를 위해 코드는 Keras로 통일합니다.

Linear regression with mean squared error

input = Input(shape=(10,))
output = Dense(1)(input)

model = Model(input, output)
model.compile(optimizer=_, loss='mean_squared_error')

Logistic regression with binary cross-entropy loss

input = Input(shape=(10,))
output = Dense(1, activation='sigmoid')(input)

model = Model(input, output)
model.compile(optimizer=_, loss='binary_crossentropy')

Softmax regression with categorical cross-entropy loss

input = Input(shape=(10,))
output = Dense(3, activation='softmax')(input)

model = Model(input, output)
model.compile(optimizer=_, loss='categorical_crossentropy')

다음으로 response variable, functional form, loss function, loss function + regularization term 이렇게 네 가지 주요 요소들이 있는데요 앞으로 세 가지 모델들에 대해 각 요소가 어떤 통계적인 의미를 지니는지 알아보도록 하겠습니다 (수영장 밑바닥에서 한 계단씩 올라가겠습니다).

잠깐! 완전히 잠수하기 전에 준비운동부터 해야겠죠? 몇 가지 중요한 개념들에 대해 정의하고 넘어가겠습니다.

Random variable


저(글쓴이)는 random variable을 "여러가지 다른 값들을 가질 수 있는 것"이라고 정의합니다.

  • "The tenure of despotic rulers in Central Africa" is a random variable. It could take on values of 25.73 years, 14.12 years, 8.99 years, ad infinitum; it could not take on values of 1.12 million years, nor -5 years.
  • "The height of the next person to leave the supermarket" is a random variable.
  • "The color of shirt I wear on Mondays" is a random variable. (Incidentally, this one only has ~3 distinct values.)


Probability distribution


확률 분포란 random variable이 갖는 값을 관측할 likelihood에 대한 일종의 lookup table이라 할 수 있습니다. 주어진 variable이 {비, 분, 진눈깨비, 우박} 중 하나의 값을 가진다고 할 때, 다음과 같이 probability distribution으로 나타낼 수 있습니다:
p = {'rain': .14, 'snow': .37, 'sleet': .03, 'hail': .46}
당연하지만, 모든 값의 합은 1이어야 하지요.

  • 확률 질량 함수는 이산 값을 갖는 random variable 확률 분포다. 
  • 확률 밀도 함수는 연속 값을 갖는 random variable의 확률 분포를 주는 함수다. 
  • 여기서 "주는"이라고 표현한 까닭은 이 함수 스스로는 lookup table이 아니기 때문이다. 즉 값이 [0,1] 범주 안에서 주어진 random variable에 대해 $Pr(X=0.01), Pr(X=0.001),Pr(X=0.0001),~etc.$를 정의할 수 없다. 
    • 대신 일정 범위  안에서 어떤 값을 관측할 확률을 알려줄 수 있는 함수를 하나 정의하여 사용할 수 있다: e.g. $Pr(0.01<X<0.4)$
    • 이 것이 확률 밀도 함수이며 $Pr(0\leq X \leq 1)=1$을 만족한다. 

Entropy


엔트로피는 주어진 결과에 도달할 수 있는 방법의 가짓수를 정량화 해줍니다. 8명의 친구들이 두 대의 택시를 나눠타고 브로드웨이 쇼를 보러 가는 것을 상상해보죠. 다음과 같이 두 가지의 시나리오를 생각해보겠습니다:
  • 네 명씩 택시를 탄다:
# fill the first, then the second
assignment_1 = [1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2]

# alternate assignments
assignment_2 = [1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2]

# alternate assignments in batches of two
assignment_3 = [1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2]

# etc.
  • 모든 친구들이 하나의 택시에 어떻게든 우겨 탄다:
assignment_1 = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
두 번째 경우보다 첫 번째 경우가 가능한 경우의 수가 많기 때문에 첫 번째 결과(outcome)가 더 높은 엔트로피 값을 갖게 됩니다.

More explicitly,


엔트로피를 확률 분포에 대해 계산을 해보면 다음과 같습니다:
$$H(p)=-\sum_{i=1}^n p_i \log p_i$$
이 때,
  • 총 서로 다른 n개의 이벤트가 존재한다. 
  • 각 이벤트 $i$는 $p_i$의 확률을 갖는다. 

엔트로피는 가능한 이벤트들에 대한 weighted-average log probability이고, (이는 수식에서 더 명백히 알 수 있는데) 분포에 내재한 불확실성을 측정하는 방법이라 할 수 있습니다. 즉, 어떤 이벤트에 대해 엔트로피가 높다는 것은 해당 결과값을 얻을 것이라는 믿음에 대한 확실성이 덜하다는 것을 뜻하죠.

위에서 언급한 확률 분포에 대해 엔트로피를 계산해보겠습니다.
p = {'rain': .14, 'snow': .37, 'sleet': .03, 'hail': .46}

def entropy(prob_dist):
    return -sum([ p*log(p) for p in prob_dist.values() ])

In [1]: entropy(p)
Out[1]: 1.1055291211185652
비교를 위해 두 개의 분포를 더 만들어서 각각의 엔트로피들을 계산해보겠습니다.
p_2 = {'rain': .01, 'snow': .37, 'sleet': .03, 'hail': .59}

p_3 = {'rain': .01, 'snow': .01, 'sleet': .03, 'hail': .95}

In [2]: entropy(p_2)
Out[2]: 0.8304250977453105

In [3]: entropy(p_3)
Out[3]: 0.2460287703075343
첫 번째 분포에서 우리는 내일 날씨가 어떨 지에 대해 가장 확신이 없습니다. 이에 맞게 엔트로피도 가장 높습니다. 세 번째 분포의 경우 내일의 날씨가 우박일 것이라는 것에 가장 확신을 가질 수 있을 것이고 엔트로피도 역시 작은 것을 볼 수 있습니다.

마지막으로 택시 예화에서도 마찬가지로 오직 한 가지 경우만 가능한 분포에 비해 여러 갈래로 이벤트가 생길 수 있는 분포에 대해 엔트로피 값이 낮다는 것을 알 수 있습니다.

이제 준비운동을 마쳤으니 수영장에 들어가야겠지요. 그럼 가장 바닥부터 찍고 다시 수면으로 올라가보겠습니다.

Response variable


크게 볼 때 우리가 다룰 모델은 다음과 같이 생겼다고 할 수 있습니다. 즉, 아래 그림에서 입력을 받아 출력을 받는 다이아몬드에 해당합니다:

simple input/output model

모델들은 예측해야 하는 response variable 즉 $y$의 종류에 따라 바뀌게 되는데요
  • Linear regression은 연속된 실수 값을 예측. temperature라고 하자. 
  • Logistic regression은 이진 값을 예측. cat or dog라고 하자. 
  • Softmax regression은 multi-class label을 예측. red or green or blue라고 하자. 
각 모델에서 response variable은 서로 다른 값들을 가질 수 있습니다. 이들이 바로 random varialbles입니다. 그렇다면 각각의 random variable은 어떤 확률 분포를 갖을까요?
  • temperature는 true mean $\mu\in(-\infty,\infty)$와 true variance $\sigma^2\in(-\infty,\infty)$를 갖는다. 
  • cat or dog는 고양이 혹은 강아지를 값으로 값는다. 공평한 동전 던지기가 언제나 $Pr(Head)=0.5$이듯이 각 결과에 대한 likelihood는 시간에 따라 변하지 않는다. 
  • red or green or blue는 빨강, 초록, 파랑 중 하나의 값을 갖는다. 마치 공평한 육면체 주사위가 그렇듯이 시간에 따라 likelihood는 바뀌지 않는다. 
이런 가정들은 사실 너무 당연해서 좀 너무 진부하기까지 하지만 앞으로 얘기할 때 중요하게 사용되니 기억해둡시다.

Maximum entropy distributions


"Uber의 연간 수익"이라는 연속 값 random variable을 생각해보겠습니다. 마치 temperature와 같이 이 random variable 역시 true mean $\mu\in(-\infty,\infty)$와 true variance $\sigma^2\in(-\infty,\infty)$를 갖습니다. 당연하지만 두 경우에 대한 평균과 분산은 서로 다르겠죠. 다음과 같이 가상으로 10개의 값들을 관측했다고 해보겠습니다:
ubertemperature
-100-50
-805
-2056
565
1562
-1063
2260
1278
70100
100-43
이를 그려보면 다음과 같습니다:
temperature random variable
uber random variable
우리는 각 random variable에 대해 실제 확률 분포가 어찌 생겼는지는 모릅니다. 전반적 "형태"도 모르고 그 형태를 제어하는 parameters도 모릅니다. 이럴 때는 어떻게 모델을 정해야할까요? 사실 통계학의 정수가 바로 여기에(미지의 값들을 추측하는 것) 있습니다.

자, 초기 모델을 정하기 위해 다음의 두 가지를 염두에 두어야합니다:

  • 최대한 보수적이어야 합니다. 우리는 "Uber의 연간 수익"에 대해 고작 10개의 값만을 보았을 뿐입니다. 아직 관측되지 않았다고 해서 다음 스무 개의 값들이 $[-60,-50]$ 사이의 범위에서 나올 수도 있다는 사실을 간과하고 싶지는 않겠죠.
  • 각각에 대하여 동일한 가정(continuous)을 했기 때문에 두 random variables 모두에 대하여 같은 확률 분포 "모양"을 가정해야합니다. 

이에 따라 매우 진부하지만 위에서 정의한 제약 조건들을 만족하는 가장 보수적인 분포를 사용하겠습니다. 이 것이 바로 maximum entropy distribution입니다.

* (편집자 주) 그냥 이렇게 넘어가면 사실 왜 maximum entropy distribution을 사용해야하는지 잘 와닿지 않을 수 있으니 제가 첨언을 좀 해보겠습니다. 

통계나 정보 이론에서 maximum entropy probability distribution은 이름이 의미하듯 분포가 갖는 엔트로피 값이 해당 class의 확률 분포들이 가질 수 있는 최대 엔트로피 값과 최소한 같거나 큽니다. 


무슨 말인고 하니, 만약 우리가 어떤 모델을 세울 때 해당 데이터에 대해 알고 있는 정보가 적다면 잘못된 선험적 정보를 부지불식간에 모델에 넣지 않도록 주의를 기울여야 한다는 것입니다. (maximum entropy의 원리에 따라) 모델을 정할 때 해당 데이터가 어떤 class에 속한다는 정보 외에 분포에 대한 어떠한 정보도 없을 때는 가장 기본적으로 최소한의 정보만을 사용하여(largest entropy) 분포를 정해야할 것입니다. 


바로 여기에 해당하는 분포가 maximum entropy distribution인 것이죠. 이 외에도 많은 physical systems이 시간이 지나면서 점차 maximal entropy configuration을 향하기 때문에서라도 maximum entropy distribution으로 초기 모델을 정하는 것이 여러 모로 장점이 있습니다.

temperature(continuous-valued distribution)에 대한 maximum entropy distribution은 Gaussian 분포입니다. 가우시안 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같죠:
$$P(y\vert \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp{\bigg(-\frac{(y - \mu)^2}{2\sigma^2}\bigg)}$$
cat or dog에 대한 maximum entropy distribution은 binomial 분포입니다. 이항 분포의 확률 밀도 함수는 (for a single observation) 다음과 같습니다:
$$P(\text{outcome}) =
$\begin{cases}
1 - \phi & \text{outcome = cat}\\
\phi & \text{outcome = dog}\\
\end{cases}$$ (여기서 positive event에 대한 확률을 $\phi$로 표기하였습니다.)

마지막으로 red or green or blue에 대한 maximum entropy distribution은 multinomial distribution입니다. 다항 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다:
$$P(\text{outcome}) =
\begin{cases}
\phi_{\text{red}} & \text{outcome = red}\\
\phi_{\text{green}} & \text{outcome = green}\\
1 - \phi_{\text{red}} - \phi_{\text{green}} & \text{outcome = blue}\\
\end{cases}$$
이렇게 각 모델에 대한 "maximun entropy distribution"가 위와 같이 유도된다는 것을 은근슬쩍 구렁이 담넘어 가듯이 지나갔지만 사실 이 부분은 Lagrange multipliers로 매우 명료하게 설명하는 것이 가능합니다. 이 부분은 해당 글의 범위를 넘어서거니와 이 글의 목적을 명확히 하는데 오히려 방해가 될 소지가 있기에 글쓴이가 의도적으로 내용을 생략하였습니다.

* (편집자 주) 실제로도 매우 쉽습니다. 다음에 기회가 되면 포스팅을 하도록 하겠습니다. 예를 들어 가우시안 분포는 전체 실수 선 $x\in(-\infty, \infty)$를 모두 포괄하되 유한한 평균과 분산을 갖는 모든 확률 분포에 대한 maximum entropy distribution입니다. 이렇게 maximum entropy distribution을 유도하다보면 가우시안 분포의 적분식이 왜 그렇게 생겼는지 알 수 있습니다. 재밌겠죠!

마지막으로 "Uber의 연간 수입"과 temperature 값들의 실제 분포가 가우시안으로 표현될 수 있다는 가정을 사용하긴 하였으나 사실 각각에 대해 약간씩 다른 가우시안입니다. 이는 각 random variable이 서로 다른 true mean과 variance를 갖기 때문입니다. 이 값들은 각 가우시안 분포들이 더 키가 크거나 옆으로 퍼지거나 혹은 좌우로 shift되는 정도를 다르게 조정하게 됩니다.


Functional form


이 글에서 다루고 있는 세 모델들은 각각 서로 다른 함수를 바탕으로 예측을 하는데요:  각각 identity function (i.e. no-op), sigmoid function, and softmax function. Keras로 output layer를 만들어보면 명확합니다:
output = Dense(1)(input)
output = Dense(1, activation='sigmoid')(input)
output = Dense(3, activation='softmax')(input)
이 단락에서는,
  • Gaussian, binomial 그리고 multinomial distributions가 같은 functional form으로 나타낼 수 있다는 것을 보이겠습니다. 
  • 이 common functional form에서 세 모델들의 output function (identity, sigmoid, softmax)가 자연스럽게 유도된다는 것을 보이겠습니다. 

마치 다음 그림과 같이 생각할 수 있겠네요. 세 가지 분포가 들어가서 세 가지 output functions이 나오는 것이죠. (그림이 이상한데? -_-; 뭐 아무튼 하나의 functional form으로 설명이 가능해서 저렇게 표현할 수 있다고 생각하면 될 듯합니다.)


bottleneck

여기서 병목에 해당하는 개념은 확률 분포의 "exponential family"가 되겠습니다.

자! 이 부분이 사실 매우매우 재미있는 부분이지만 아쉽게도 글이 매우 길어지기도 했고 글을 하루에 쓸 수 있는 양이 있으니(..orz) 다음 글에서 이어가도록 하겠습니다. (드라마도 아니고....준비 운동하다 시간이 다 갔네요..ㅋㅋ 얼른 돌아오겠습니다. )

그러면! 다음 글에서 뵙겠습니다. (To be continued)

다음 읽을거리





댓글 2개:

  1. varianbe -> variance 오타인것 같습니다.
    좋은 글 감사합니다.

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    1. 오 수정하였습니다! 감사합니다.

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