복소 함수의 다가성 (multivaluedness of complex function)

오늘은 문제 하나를 들고 왔습니다. 본 내용에 들어가기 앞서 다음 문제를 한 번 같이 풀어보면 훨씬 더 재미있을 것이라 생각합니다.

먼저 오일러 공식에 따라 $e^{j2\pi t}$를 다음과 같이 표현할 수 있습니다: $$e^{j2\pi t}=\cos(2\pi t)+j\sin(2\pi t)$$ 그리고 이에 따라 $e^{j2\pi}=1$이 성립한다는 것도 알 수 있습니다. 이 때, 다음과 같은 등식을 살펴보시죠: $$e^{j2\pi t}= (e^{j2\pi})^t= 1^t = 1, \quad t \in \mathbb{R}$$ 수식 전개가 자연스러워보이지만 조금 더 생각해보면 매우 이상하다는 것을 알 수 있습니다. $t \in \mathbb{R}$일 때, *$e^{j2\pi t}\neq 1$이므로 결과가 서로 상충되기 때문입니다.
* 여기서 $e^{j2\pi t}\neq 1$가 바로 받아들여지지 않는다면 $t=\frac{1}{2}$인 경우를 생각해보면 됩니다. $e^{j\pi}=\cos(\pi)+j\sin(\pi)=-1.$ 

따라서 이를 위 식과 함께 써보면, $$1\neq e^{j2\pi t}= (e^{j2\pi})^t= 1^t = 1, \quad t \in \mathbb{R}$$ 이와 같이 매우 모순적인 결론에 이르게 됩니다.

"음... 어디가 잘못된 것일까요?"

복소 함수의 다가성

위 문제를 처음 봤을 때, 매우 당황스러웠습니다. 도무지 어디가 잘못되었는지 찾기가 어려웠기 때문입니다. 이 문제를 풀기 위해서 열심히 공부를 하다가 이 문제의 근원이 복소 함수의 다가성에 있다는 것을 알았는데요. 이 내용이 잘 받아들여지지 않아서 근원을 알고나서도 제대로 이해하기 위해 한참을 더 머리를 굴려야 했습니다.

복소 함수의 다가성을 좀 더 쉽게 이해하려면, 예시를 보는게 좋습니다. 가장 쉬운 예시로는 복소수 로그 함수 $f(z) = \ln z, z\in\mathbb{C}$가 있습니다. 복소수는 polar form으로 표현할 수 있고 $$z = re^{j\theta}, \quad z\in\mathbb{C},$$ 따라서 로그 함수를 다음과 같이 풀어 쓸 수 있습니다: $$f(z)=f(r,\theta)= \ln r e^{j\theta}= \ln r + \ln e^{j\theta} = \ln r + j\theta.$$ 그런데 여기서 $n\in\mathbb{Z}$에 대하여 $e^{j\theta} = e^{j(\theta+2\pi)} =e^{j(\theta+4\pi)}=\cdots =e^{j(\theta+2\pi n)}$로 $e^{j\theta}$는 periodic하기 때문에 $f(z)$는 무한히 많은 값을 갖습니다: $$f(z)= \ln r + i(\theta+2\pi n), \quad n\in\mathbb{Z}.$$ 따라서 이는 엄밀히 말하여 함수가 아니죠.

문제 풀이

이제 이를 이용하여 위의 문제를 풀어 보겠습니다. 먼저, 복소수 지수 함수의 정의는 다음과 같습니다: $$z^t = e^{t \ln z}=e^{t \ln (re^{j\theta})}, \quad t\in\mathbb{R}.$$ 마찬가지로 복소수 지수 함수 역시 편각 $\theta$에 따라 여러 값을 갖는다는 것을 알 수 있습니다. 그러면 위에서 전개했던 부분  $$1\neq e^{j2\pi t}= (e^{j2\pi})^t= 1^t = 1, \quad t \in \mathbb{R}.$$중에 정확히 어떤 부분이 틀렸던 것일까요? 정답은 가장 마지막 등호입니다. 마지막 등호로 넘어가면서 그전까지는 $\theta=2\pi$이던 것을 은근슬쩍 편각을 0으로 바꾸고 $\theta =0$에 대한 함수값 실수 '1'인양 취급하고 계산한 것입니다. $$1^t=e^{j2\pi t}= (e^{j2\pi})^t \neq (e^{j 0})^t = 1, \quad t \in \mathbb{R}.$$따라서 실수 '1'의 거듭제곱은 $t$에 따라 값이 바뀔 이유가 없지만 복소수 '1'의 거듭제곱은 값이 바뀔 수 있기에 등호가 성립하지 않는 것입니다. 앞서 들었던 예시와 같이 $t=\frac{1}{2}$인 경우를 살펴보시면 이해가 더 빠르실 것입니다: $$(e^{j2\pi})^{1/2}=-1\neq(e^{j 0})^{1/2}= 1.$$

같이 보면 좋을 참고문헌

* https://ghebook.blogspot.com/2012/08/multi-valuedness.html
* https://www.youtube.com/watch?v=Q1YonFv6TqM

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