2017년 12월 24일 일요일

When a ball put inside a box has a longer diameter than the box (What happens when we put a ball inside a box in a high dimensional world?)

When a ball put inside a box has a longer diameter than the box

I had a chance to read Ferenc's interesting post about counter-intuitive things happening in a high dimensional space. This reminds me a very simple but another interesting example I met in a topology class.

I found this example in a series of YouTube lectures about topology and geometry by professor Tadashi Tokieda.  This example is very easy to understand with a simple logic though it triggers a lot of interesting thoughts and broadens my sight. I hope this would also help the readers to glimpse a deep and extraordinary world of a high dimensional space.

To start, let's begin with an easy example of 2D space. Think about the situation that you put every corner of the square (each side has a length of one, $I^2$ with a white disk. Then, try to fit a red disk in the middle.

2D square example

Then, what is the diameter of the red disk? You can solve this problem in various ways but let me introduce a very intuitive and simple way.


As you can see in the above picture, you would immediately notice that the length of the diagonal line is equal to the sum of two white disks' and two red disks' diameters. Therefore, you can derive the diameter of the red ball $d_{red}$ as below:
$$d_{red} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}.$$
Since the value of $\sqrt{2}$ is approximately 1.414, the diameter of the red disk is approximately 0.2, which is definitely smaller than the length of each side of the square. This simply means that this disk in the middle is smaller than the square. Well... Of course! Because we put it in the square.

What would happen when we go to 3D box $I^3$?

3D box example

Again, it is not hard to find $d_{red}$. In an analogous way with the previous solution, we can simply find the fact that the length of the diagonal line of the box would be also same with the sum of two white balls' and red balls' diameters.

By the Pythagorean theorem, we can easily derive the diameter of the red ball by
$$d_{red} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0.35 <1.$$
It is still smaller than the box though it has increased a little.

Let's do the same in $I^m$. Still the length of the diagonal line across the high dimensional box would be found by the square root of the sum of the squares of all the sides it has.

Therefore, the general solution for $d_{red}$ in $m$-th dimension can be derived as follows:
$$d_{red} = \frac{\sqrt{m}-1}{2}.$$
You may already notice that this will give a very interesting result when $m\geq 9$. Whenever $m$ goes beyond 10, we would find the ball which is put inside the box would have longer diameter than the length of each side of the box!

"When a ball put inside a box has a longer diameter than the box's side!"

This simple but very counter-intuitive example shows how much our intuition can be wrong when it comes to a high dimensional space. As written in the front desk of my blog, I always try to think in pictures and visualize more when I meet a new concept. However, this example always rings me a warning that I have to be very careful whenever I cross the line above three-dimensional space.

I hope the readers would also find the fresh impression that I felt when I met this example for the first time. Thank you for your reading and please leave the comments if you liked it.

박스 안에 넣은 공의 지름이 박스보다 클 때 (What happens when we put a ball inside a box in a high dimensional world?)

박스 안에 넣은 공의 지름이 박스보다 클 때

(* For English speakers: En version)

facebook의 게시글 중 임성빈 박사님이 올리신 고차원으로 생각을 확장할 때 주의할 내용에 관한 글을 보고 문득 떠오른 재미있는 예시가 있다.

예전에 위상 수학을 혼자 공부하다 본 Tadashi Tokieda 교수님의 Topology & Geometry 강의 중 있던 예시인데 일반적인 상식이 뒤집어지는 예시면서도 매우 쉽게 보일 수 있어서 감명 깊었던 것을 공유하기 위해 정리해본다.

먼저 쉬운 예부터 시작하기 위해서, 각 변의 길이가 1인 2D 사각형 $I^2$ 안에 네 귀퉁이마다 흰 공을 넣고 맨 중간에 남는 공간에 빨간 공을 채운다고 해보자.

2차원 박스 예시

이 때, 이 공의 지름은 어떻게 되는지 생각해보자. 다양한 방법으로 이를 구할 수 있겠지만 매우 직관적이고 깔끔한 방법 하나를 소개해보면 다음과 같다.


이렇게 여러 사각형을 붙여보면 대각선의 길이는 빨간 공 두 개와 흰 공 두 개의 지름을 합한 것과 같고, 흰 공 두 개의 지름의 합은 1이기 때문에 아래 수식으로 빨간 공의 지름 $d_{red}$를 쉽게 구할 수 있다:
$$d_{red} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}.$$
$\sqrt{2}$의 값은 대략 1.414이므로 빨간 공의 지름은 대략 0.2이고 박스의 크기인 1보다 작다. 뭐, 당연한 일이다. 애초에 박스 안에 공을 넣었는데 박스보다 공이 클 수가 있겠는가?

자, 조금 더 확장해서 3차원 박스 $I^3$가 되면 어떨까?

3차원 박스 예시

이 때의 $d_{red}$ 역시도 그리 어렵지 않다. 앞서 소개한 방식으로 생각을 조금만 더 확장하면, 박스를 가로지르는 빗변의 길이가 흰 공 두 개와 빨간 공 두 개의 지름의 합과 같다는 것은 여전히 유효하다는 것을 알 수 있다. 따라서 피타고라스 정리를 생각하면 아래 사각형의 변들의 제곱과 높이의 제곱을 모두 더한 것에 루트를 씌워 쉽게 구할 수 있다:
$$d_{red} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0.35 <1.$$
이 역시도 여전히 박스 한 변의 길이인 1보다는 작다. 그런데 여기서 재미있는 점은 빨간 공의 지름이 조금 커졌다는 것이다.

이를 임의의 $m$ 차원으로 확장하면 어떻게 될까? $m$ 차원 박스 $I^m$을 가로지르는 빗변의 길이는 피타고라스의 정리에 의해 모든 변의 제곱의 합에 루트를 씌운 것과 같다.

그러면 위에 공식에 따라 $m$ 차원 구 $d_{red}$에 대한 일반 해를 다음과 같이 정리할 수 있는데:
$$d_{red} = \frac{\sqrt{m}-1}{2}.$$
눈치 빠른 분들은 이미 아셨겠지만, $m\geq 9$가 되는 순간 빨간 공의 지름이 박스 한 변의 길이인 1보다 크거나 같아지게 된다. 즉, 우리는 분명 박스 안 모든 귀퉁이에 흰 공들을 넣고 그 안 쪽 공간에 빨간 공을 우겨 넣었지만 빨간 공의 지름은 박스보다 크다!

"박스 안에 넣은 공의 지름이 박스보다 크다!"

매우 단순하고 쉽지만 차원으로 넘어갈 때, 우리의 직관이 얼마나 틀릴 수 있는지 보여주는 좋은 예시라고 생각한다. 블로그 인사글과 같이 언제나 그림으로 상상하는 것을 즐기고 그렇게 할 수 있을 때, 가장 강력한 직관과 이해를 얻을 수 있다고 생각하지만 (Think in Pictures and Visualize More!) 고차원으로 갈 때는 이런 재미있는 일들이 자주 일어나기 때문에 매우 조심해야한다는 것도 염두에 두어야하겠다.

처음 이 예시를 접했을 때 느꼈던 신선함을 다른 분들도 느끼길 바라며 초짜 공돌이의 짧은 위상 수학 산책을 마친다.

다음 읽을거리